اصل خوش ترتيبي

[nafise sadeghi]

اصل خوشترتیبی بیان می کند هر زیر مجموعه ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی دارای عضو ابتدا یا کوچکترین عضو است.
به عبارت دیگر:

یا به عبارت دیگر وجود دارد به گونه ای که:

با استفاده از اصل خوشترتیبی نتایج زیر حاصل می شود که می توان آنها را تعمیمی بر این اصل دانست

[nafise sadeghi]

- هر زیر مجموعه ناتهی و از پایین کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو مینیمم(کوچکترین عضو یا عضو ابتدا)
است.


برهان:

فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد صحیح و از پایین کراندار باشد و یک کران پایین آن باشد یعنی:
مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:

چون S ناتهی است پس T ناتهی است و بوضوح نتیجه اینکه T زیرمجموعه ای ناتهی از مجموعه اعداد طبیعی است و لذا بنا بر اصل خوشترتیبی T دارای عضو مینیممی چون است.

حال چون پس با توجه به تعریف مجموعه T داریم:



اکنون ادعا می کنیم چرا که:


و


پس:

به این ترتیب مینیمم S است چون کوچکتر یا مساوی هر عضو دلخواه از S است.

به این ترتیب نشان دادیم S دارای عضو ابتدا یا مینیمم است و حکم ثابت می شود.

[nafise sadeghi]

مجموعه ناتهی از بالا کراندار از مجموعه اعداد صحیح دارای عضو ماکزیمم است.


برهان:

فرض می کنیم مجموعه S زیر مجموعه ای ناتهی و از بالا کرانداری از مجموعه اعدا صحیح باشد. نشان میدهیم S دارای عضو ماکزیمم است یعنی:
مجموعه T را به این صورت تعریف می کنیم:

در این صورت چون مجموعه S ناتهی است T نیز ناتهی است و چون S از بالا کراندار است لذا T از پایین کراندار است.
همچنین T زیرمجموعه ای از اعداد صحیح است. پس بنا بر مطلب قبل T زیرمجموعه ای ناتهی و از پایین کرانداری از مجموعه اعدا صحیح است و لذا دارای عضو مینیمم است.

و چون با توجه به تعریف مجموعه T میتوان نتیجه گرفت:

حال ادعا می کنیم عضو ماکزیمم مجموعه S است چون:
و چون مینیمم عضو مجموعه T است پس:
و این نشان می دهد برای هر عضو دلخواه s از مجموعه S عضو بزرگتر یا مساوی s است پس ماکزیمم عضو مجموعه S است.
به این ترتیب نشان دادیم مجموعه S دارای عضو ماکزیمم است و حکم ثابت می شود.


دانش نامه رشد