کوچکترین مضرب مشترک

[nafise sadeghi]

کوچکترین مضرب مشترک: (ک.م.م)

کوچکترین مضرب مشترک:
می دانیم عدد صحیح c مضرب مشترک دو عدد صحیح a و b است هر گاه : a|c و b|c
تعریف: عدد طبیعی m را کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح(ناصفر) a و b می گوییم هرگاه شرایط زیر برقرار باشد:
1-
2-
به عبارت دیگر کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح عبارت است از عضو ابتدای مجموعه مضربهای مشترک آن دو عدد.

• لازم به ذکر است که کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b را به صورت ک.م.م a و b نیز می خوانند و به صورت نشان میدهیم.
• توجه: مقدار برای هر عدد صحیح a مخالف صفر وجود ندارد زیرا مضارب صفر خود صفر است پس مجموعه مضارب مثبت آن تهی است پس ک.م.م aو0 وجود ندارد.

[nafise sadeghi]

قضیه: ک.م.م دو عدد صحیح ناصفر a و b حتما وجود دارد.

برهان: می خواهیم نشان دهیم حتما وجود دارد بنابراین مجموعه مضارب مشترک a و b یعنی S را در نظر میگیریم :
ادعا می کنیم S ناتهی است چون: و چون به وضوح S زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی است بر طبق اصل خوشترتیبی می توان گفت S دارای عضو مینیمم است یعنی کوچکترین عضوی در S چون m وجود دارد که:
1-
2-
و این بیانگر ان است که m کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b است و حتما وجود دارد.


مثال: را بیابید:

پاسخ:
1- مجموعه مضارب مثبت 8=
2- مجموعه مضارب مثبت 10=
مشاهده می شود کوچکترین عضو مشترک از مجموعه مضارب مشترک 8 و 10 برایر 40 است پس

[nafise sadeghi]

• توجه: روش دیگری برای یافتن ک.م.م دو عدد وجود دارد که کاربردی تر است به این ترتیب که اگر a و b دو عدد طبیعی بزرگتر از یک باشند که:

تجزیه این دو عدد به عوامل اول باشد آنگاه ک.م.م این دو عدد برابر است با:

که در آن:
به عبارت ساده تر برای یافتن ک.م.م دو عدد از این روش ابتدا دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم سپس ک.م.م این دو عدد برابر است با حاصلضرب عوامل اول مشترک و غیر مشترک با بزرگترین توان.

[nafise sadeghi]

خواص: در اینجا به بیان برخی از خواص مهم ک.م.م می پردازیم و بعضی از آنها را نیز اثبات می کنیم:

• 1-

برهان:
1-
2- اگر c عضو اعداد طبیعی وجود داشته باشد که a|c و b|c آنگاه b||c|
پس می توان گفت |b| ک.م.م a و b است.

• 2-

• 3-

• 4-

• 5-

[nafise sadeghi]

برهان:
فرض می کنیم: و نشان می دهیم برابر ک.م.م دو عدد
a و b است. پس باید نشان دهیم:

1-
برهان:


لازم به توضیح است که a و b هردو بر d بخش پذیرند.

2-
برهان:

حال طرفین را بر d تقسیم می کنیم:

از طرفی:
به این ترتیب:
پس:

به این ترتیب برابر است با ک.م.م a و b پس:

[nafise sadeghi]

• نتیجه: اگر a و b نسبت به هم اول باشند:
• نتیجه: می توان ثابت کرد که اگر a و b دو عدد طبیعی باشند واعدادی چون'a' ,b متباین نسبت به هم وجود دارند که:

حال اگر اعداد طبیعی که وجود دارند که و در نتیجه:

این نتیجه بسیار کاربردی بوده و در حل بسیاری از مسایل کمک می کند.

مثال: اگر برای دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم: آنگاه a و b را بیابید.

پاسخ: بر طبق نتیجه فوق می دانیم اعداد متباین نسبت به هم وجود دارند که:

و

پس:

چون: بنابراین:
در نتیجه: a=2,b=144 یا a=16,b=18

• توجه: برای دو عدد صحیح a و b ناصفر داریم:

• 6-

[nafise sadeghi]

برهان:
اگر آنگاه بنابراین:

• 7-اگر a و b اعداد صحیحی با شند که آنگاه برای هر n طبیعی:

برهان:
اگر فرض کنیم آنگاه می دانیم بنابراین:

• 8- برای هر a و b صحیح و مخالف صفر:

برهان:


بنا بر فرض:
بنابراین نتیجه می شود: و لذا a|b. به طریق مشابه b|a ، پس |b|=|a|
حال فرض می کنیم که و نشان می دهیم