اصل استقرای ریاضی:
این اصل بیان میکند اگر S زیرمجموعه ای ناتهی از اعداد طبیعی باشد به طوری که:
1) عدد یک عضو این مجموعه باشد.
2) هرگاه عدد طبیعی n در مجموعه S باشد آنگاه n+1 نیز عضو این مجموعه باشد.
میتوان تنیجه گرفت هر عدد طبیعی عضو S است و به عبارت دیگر S همان مجموعه اعداد طبیعی است.
برهان:
- لازم به توضیح است این اصل با پذیرش اصل خوش ترتیبی قابل اثبات است.
برای اثبات از برهان خلف کمک می گیریم. به برهان خلف فرض می کنیم با مفروضات فوق مجموعه S برابر مجموعه اعداد طبیعی نباشد. پس مجموعه ای چون T وجود دارد که S=N-T. حال داریم: مجموعه T زیر مجموعه اعداد طبیعی است و ناتهی است(چرا؟) پس بنا بر اصل خوشترتیبی T دارا عضو مینیمم است چون واضح است که و چون پس داریم: و چون برابر مینیمم مجموعه T است پس و لذا از شرط دوم مجموعه S داریم:
که این تناقض است چون پس فرض خلف باطل و حکم(اصل اسقرا) برقرار است.
صورتی دیگر از اصل استقرای ریاضیاثبات به کمک اصل استقرای ریاضی)
- به این ترتیب برای اثبات برخی از مسائل و احکام ریاضی که درباره اعداد طبیعی می باشند می توان از اصل استقرای ریاضی استفاده کرد که اثبات به این روش، یک روش مستقیم در استدلال ریاضی است.
همان گونه که گفته شد از اصل استقرا برای اثبات احکامی در مورد اعداد طبیعی استفاده می شود. حال روش اثبات را بوسیله این اصل بیان می کنیم:
اگر (P(n حکمی در مورداعداد طبیعی باشد (P(n برای هر عدد طبیعی n درست است اگر و فقط اگر:
1- حکم (P(1 درست باشد. به عبارت دیگر حکم برای n=1 برقرار باشد. (این مرحله را مرحله مبنای استقرا می گوییم.)
2- به ازای هر عدد طبیعی k از فرض درستی (P(k (فرض استقرا) بتوان درستی (P(k+1 (حکم استقرا) را نتیجه گرفت.
به عبارت دیگر نشان می دهیم عدد 1 در دامنه حکم است و چون هر k طبیعی که در دامنه حکم باشد k+1 هم در دامنه است می توان گفت دامنه حکم هر عدد طبیعی است و هر عدد طبیعی در حکم صدق می کند.
- لازم به توضیح است که در اثبات به کمک اصل استقرا هر یک دو شرط فوق باید برقرار باشد تا بتوان درستی حکم را نتیجه گرفت
علاقه مندی ها (Bookmarks)