يكي از ويژگي هاي جالب مثلث خيام-پاسكال

[Outta_Breathe1020]

اكثر شما مطمئنا با مثلث خيام - پاسكال آشنايي داريد و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1<n و 0<n>k ) .در اين جا،چند رديف از اين مثلث را آورده ايم :

لم: در رديف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت است.
براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي ، داريم :.
اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).
بنابراين مي توان مثلث خيام - پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت:

قضيه:در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي داريم :
مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0<n>k>m داريم : .
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=() با توجه به رابطه ي (2)، عاد مي‌كند را .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند را، ولي اين ممكن نيست چرا كه .
به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.



منبع:http://www.anjoman.ir/