هندسه نااقلیدسی 3

[Only Math]

برنهارد ریمان که رساله ی دکتریش را تحت راهنمایی گئوس به نگارش در آورد در یک سخنرانی در ۱۰ ژوئن ۱۸۵۴ مفهوم هندسه را در ریاضی کاملا تغییر داد. او هندسه را ساختاری متریک تلقی کرد، همچنین وی اساس هندسه ای بیضوی را که در آن خط موازی وجود ندارد را تدوین کرد. او توانست با تعریف خمیدگی و انحنای فضا تقسیم بندی ای را برای اوناع سه هندسه بیان کند، او فرض را بر این گرفت که از یک نقطه خارج یک خط اصلا نتوان خطی به موازات آن رسم کرد.
هندسه ی اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیگی و انحنا ندارد، اما نظام های هندسی لباچفسکی و ریمانی این خمیدگی را مفروض می گیرند.(مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه ی نااقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست.(در هندسه اقلیدسی ۱۸۰ درجه در لباچفسکی کمتر و در ریمانی بیشتر از آن است.)
هندسه ی هذلولی Hyperbolic Geometry از کلمه ی یونانی هیپر بالئین به معنی افزایش یافتن است که در آن فاصله ی میان نیم خط ها در اصل توازی افزایش می یابد و هندسه ی بیضوی Eltipic Geometry از کلمه ی یونانی ایپیلن به معنی کوتاه شدن است که در آن فاصله رفته رفته کم می شود و سر انجام نیم خط ها رفته رفته کم می شود و سرانجام نیم خط ها یکدیگر را می برند.
بویویی و لباچفسکی سازگاری هندسه ای را که ارائه دادند را ثابت نکردند در واقع در ۱۶۶۸ بولترامی در مقاله ای الگوی دو بعدی در فضای سه بعدی اقلیدسی برای اثبات سازگاری هندسه ی هذلولی ارائه داد. بلترامی نشان داد که چگونه میتوان این هندسه را با محدودیت هایی بر روی یک سطح اقلیدسی با انحنای پایا نمایش داد و در نتیجه چگونه هر ناسازگاری که در هندسه بویایی و لباچفسکی کشف گردیده بر ناسازگاری متناظری از هندسه ی اقلیدسی کشانیده می شود. دانشمندان بعدی نیز پیشرفت هایی را در این زمینه بوجود آوردند، دانشمندانی نظیر: کیلی، کلاین، و کلیفرد.
کیلی در رساله ی ششم درباره ی کوانتیکهای مهم خود نشان داد چگونه مفهوم فاصله می تواند بر اصل های توصیف محض بنا شود و کلاین در ۱۸۷۱، با ارایه ی تعریف مناسب از فاصله این اندیشه ها را بسط داد و از دیدگاه هندسه ی نااقلیدسی تعبیر کرد. او بود که پیشنهاد کرد که هندسه ی بویایی و لباچفسکی و هندسه ی ریمان و هندسه ی اقلیدس بترتیب هذلولی، بیضوی و سهوی نامیده شود، این اصطلاحات قبول عام یافتند.
کار اقلیدس بعدها توسط ریاضیدانان دقیق و تصحیح شد که یکی از بهترین آن ها کار هیلبرت بود که با ارائه ی ۸ اصل موضوع برای وقوع، ۴ اصل برای نسبیت، ۵ اصل برای قابلیت انطباق، اصل پیوستگی، اصل ارشمیدس و اصل توازی به نتقیح کار اقلیدس پرداخت.
شاید تا اینجا این سوال برای شما پیش آمده باشد که کدام یک از سه هندسه راستین است؟ یا به عبارتی دیگر کدام هندسه عملا فضای مادی ما را توصیف می کند؟ ما در جواب به این سوال به این سخن از کایزر قناعت می کنیم و مقاله ی خود را با آن به پایان می رسانیم: «سه هندسه از حیث استواری، سازگاری درونی، سازش پذیری داخلی، و مطابقت منطقی بین اجزای خود در یک سطحند، و این بالاترین سطحی است که آدمی بدان دست یافته است. هر سه آیین فرزندان خلف یک گوهرند: گوهر هندسه پردازی که افلاطون آن را خدایی دانسته است_ و هر سه جاویدانند. کاری که خدای هماهنگی فکری آن را الهام و تایید کرده است از میان نمی تواند رفت، و زنده جاویدان است.»
منبع:www.riazilog.com