قضیه مقدار میانگین
در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیهای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است و حتی بعضی آن را مهمترین قضیه حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانند. صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیان لازم را برای براورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می گذارد و بوسیله آن میتوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توضیح داد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است.
قضیه رل
شواهد هندسی محکمی در دست است که نشان میدهد اگر خم همواری محور x را در دونقطه قطع کند، نقطهای روی خم بین آن دونقطه وجود دارد که در آن مماس بر آن نقطه موازی محور x است. قضیه 300 ساله میشل رل این اطمینان را به ما میدهد.
- قضیه رل: اگر تابع f در بازه بستهپیوسته و در بازه باز مشتقپذیر باشد، و آنگاه نقطه ای چون موجود هست به طوری که:
برهان:
بنابر فرض چون f بر بازه پیوسته است بنابر قضیه اکسترمم مطلق، f مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق خود را در بازه اختیار میکند. حال دو حالت تشخیص می دهیم:
(یعنی (f(c اکسترمم نسبی است) و چون بنا به فرض f در c مشتق پذیر است و c اکسترمم نسبی است پس: و به این ترتیب در هر حالت نقطه c مورد نظر وجود دارد و به این ترتیب برهان قضیه کامل میشود.
- اگر a,b به عنوان نقطه اکسترمم مطلق تابع f باشند (یعنی یکی از a یا b نقطه ماکزیمم مطلق و دیگری مینیمم مطلق باشد) چون پس تابع f تابع ثابت0=(f(x است و لذا برای هر نقطه داریم:
- اگر a,b هیچ کدام نقطه اکسترمم مطلق نباشند، پس نقطه ماکزیمم و مینیمم مطلق f در بازه قرار دارد یعنی نقطه ای چون است که به ازای آن اکسترمم مطلق باشد اما با توجه به تعریف، c یک نقطه اکسترمم نسبی نیز می باشد
قضیه زیر صورتی کلیتر از قضیه فوق را نشان میدهد و در واقع بیان می کند در قضیه رُل لزومی ندارد که f در a و b صفر شود و همین قدر که f در دو نقطه a و b یک مقدار ثابت را اختیار کند کافی است.
علاقه مندی ها (Bookmarks)