اعداد روندا(Rhonda)

[Only Math]

اعداد روندا(Rhonda)

تعريف:عدد طبيعي n يك عدد روندا در مبناي B (عدد طبيعي) ناميده مي‌شود اگر حاصل‌ضرب ارقام n در مبناي Bمساوي B برابر مجموع عوامل اول n باشد.نتيجه ي فوري از تعريف اين است كه اگر n در مبناي B روندا باشد،تمامي ارقام n در مبناي B غير صفرند.
مثال: 25662 يك عدد روندا در مبناي 10 است،نمايش آن به صورت حاصل ضرب عوامل اول چنين است:

47 × 13 × 7 × 3 × 2 = 25662

و هم چنين داريم:

(47+13+7+3+2)×10 = 2×6×6×5×2.

چند عدد رونداي ديگر در مبناي 10 عبارت هستند از:

5824 و 5664 و 5439 و 5265 و 4752 و 2835 و 1568

نكته:براي مبناهايي كه عدد اول هستند،عدد روندايي وجود ندارد،چرا كه براي عدد اول دلخواه p،p هيچ حاصل ضربي از اعداد طبيعي كوچك تر از خود را عاد نمي كند.
در جدول زير چند عدد روندا در مبناهاي ذكر شده را آورده ايم:

عدد 560 كوچك ترين عدد روندا است كه در مبناي 12 روندا مي‌باشد(توجه كنيد كه ارقام 560 در مبناي 12 عبارت هستند از:8و10و3)؛اعدادي طبيعي وجود دارند كه براي بيش از يك مبنا،روندا هستند. مثلاً عدد 1000 كوچك ترين اين اعداد است كه براي مبناهاي 16 و 36 روندا است.

تعريف:براي عدد طبيعي n،نمايش‌ دهنده‌ي مجموع عوامل اول n مي‌باشد.

قضيه:تعداد نامتناهي عدد روندا وجود دارد.

اثبات:براي هر عدد طبيعي 5<m، يك عدد روندا در مبناي مي باشد كه در آن،عدد طبيعي k ريشه ي معادله ي زير است:

توجه كنيد كه چون براي هر n، (چرا؟)پس براي هر 5<m،طرف راست معادله ي فوق مثبت بوده(مجموع سه جمله ي شامل Sopf در طرف راست معادله ،حداكثر برابر 3+6m بوده كه با تعيين علامت،براي هر 5<m،طرف راست معادله ي فوق مثبت خواهد بود.)و در نتيجه،معادله ي فوق همواره ريشه دارد.


مثال:
اگر در روابط فوق، 6=m قرار دهيم آن گاه از:

4= 13×2-7-5-7×6 =

داريم: 4=k و لذا يك عــدد رونــدا در مبناي مي‌باشد.
نمايش N در مبناي B به صورت زير است:

حاصل ضرب ارقام N در مبناي B برابر است با:.(1)
از طرفي با توجه به تعريف N:

بنابراين B برابر مجموع عوامل اول N مساوي است با و با توجه به (1) مساوي با حاصل ضرب ارقام N در مبناي B مي‌باشد.و اين يعني N يك عدد روندا در مبناي B است.
اين بحث نشان مي دهد كه اعداد روندا نامتناهي هستند.
irantrack.com