ورزش دادن مغز (2)- معما ها و از این دست(Riddles and Puzzles)

[r321.r]

دو ریاضیدان، رکس و رالف بین خودشون مسابقه ای برگزار می کنن
رکس عددی رو در ذهن در نظر می گیره و از رالف می خواد که اونو پیدا کنه

• عدد یکی کمتر و یکی بیشتر از شماره مورد نظر هر دو محصولی از 5 عدد اول(پرایم) هستند.
  (یعنی 5 تا پرایم ضرب در هم می دهند یکی از این اعداد. روی هم با ده پرایم به این دو عدد می رسیم)
• هر سه شماره روی هم رفته 13 عامل اول (فاکتور پرایم) متفاوت از هم دارند.
• جمع فاکتور های اول عدد مورد نظر برابر با 1400 هست.
• جمع دیجیتال هر کدام از فاکتور های اول شماره ها خود یک عدد اول است، و همچنین جمع دیجیتال محصول این جمع ها.
• اگر ارقام محصول این جمع ها را برعکس کنید به یک عدد اول متفاوت خواهید رسید که جمع دیجیتال عدد مورد نظر من است. "

رالف روی کاغذی شروع به یادداشت برداشتن کرد

" دو رقم میانی عدد مورد نظر تنها ارقام اول اون هستند و عددی که با اون دو رقم میانی تشکیل می شه هم اوله.
عددی که با سه رقم اول شماره مورد نظر تشکیل می شه و نیز جمع دیجیتال اون هم اوله.
در حقیقت جمع دیجیتال جمع دیجیتال، و جمع دیجیتال جمع دیجیتال جمع دیجیتال سه رقم ابتدایی هم اول(پرایم) هستند."

رکس پرسید" من به چه عددی فکر می کردم؟"

رالف باز هم شروع به یادداشت برداشتن کرد و چند تا محاسبه هم با ماشین حسابش انجام داد، اون گفت "خوب من دو تا شماره دارم اما نمی خوام عواملشون رو دربیارم تا ببینم کدوم یکی اون عددیه که ما می خواهیم"

رکس گفت که یکی از اون اعداد به 13 تقسیم پذیره

رالف جواب رو گفت

اون دو عدد کدوم بودند و عدد مورد نظر رکس چی بود؟



توجه: جمع دیجیتال، جمع رقم های یک عدده
مثلا جمع دیجیتال 247 برابر با 2+4+7= 13 هست


سرنخ: به فاکتور (بدست اوردن عوامل) هیچ شماره ای برای رسیدن به جواب نیاز نخواهید داشت و نه به تعیین کردن اول(پرایمر) بودن هیچ عددی که بزرگتر از هزار است.
منطق در حل این مسئله از ریاضی بیشتر استفاده می شه


(اگر جاهایی متن به نظرتون مبهم اومد بهتره به متن اصلی در پست پایینی مراجعه کنید)

[r321.r]

Two mathematicians, Rex and Ralph, have an ongoing competition to stump each other. Frustrated that Ralph was able to so easily figure out his last question, Rex is certain this one won't be so easy. He tells Ralph he's thinking of a number.

"The numbers one less and one more than the number are both the product of five prime numbers. The three numbers together have thirteen prime factors, all different. The sum of the prime factors of the number is 1400."

"OK," says Ralph after a moment. "That's probably enough information to find the number with a brute-force search, is that what you expect me to do?"

"No, no, no," replies Rex. "I don't want you to do anything as inelegant as that. Here's some more information."

"The digital sum of each of the number's prime factors is prime, as is digital sum of the product of these sums. In fact, if you the reverse the digits in the product's digital sum you get a different prime number that is the digital sum of the number I'm thinking of."

Ralph takes out a pad of paper and starts jotting down some notes.

"The middle two digits in the number are its only prime digits and the number formed by the middle two digits is also prime. The number formed by the first three digits in the number is prime and its digital sum is also prime. In fact, the digital sum of the digital sum, and the digital sum of the digital sum of the digital sum of the first three numbers are also both prime."

"What number am I thinking of?" asks Rex.

Ralph jots down a few more notes and then does a couple of calculations on his calculator. He says, "OK, I know it's one of two numbers, but I don't want to factor these to figure out which one."

Rex frowns and says, "One of those numbers is divisible by 13."

Ralph smiles and tells Rex the number.

What were the two numbers and which one was the one Rex was thinking of?


Note: The "digital sum" is the sum of the digits in a number. For example, the digital sum of 247 = 2 + 4 + 7 = 13.
Hint

You don't have to factor any numbers to find the answer, nor do you need to determine the primality of any numbers larger than 1000.

The problem is as much about logic as it is about math.

[r321.r]

جواب پازل مسابقه دو ریاضیدان

دو شماره ای که رالف پیدا کرد 887314 و 44374 بودند و عدد مورد نظر رکس 887314 بود.
887313 = 3 x 7 x 29 x 31 x 47
887314 = 2 x 487 x 911
887315 = 5 x 11 x 13 x 17 x 73



چون سه شماره متوالی در هیچ عدد اولی مشترک نیستند، شماره وسطی می بایست زوج باشه وگرنه دو تا شماره دیگه بر دو تقسیم پذیر خواهند شد. اگر یکی از فاکتور های شماره مورد نظر 2 باشه، آنگاه جمع 2 فاکتور باقی مانده 1398 خواهد بود ( 1400 - 2 = 1398) .

ماکزیمم مقادیری که با جمعشون به 1389 می رسیم 699و 699 خواهند بود. پس دست بالای عدد رکس 977202 خواهد بود (2 x 699 x 699 = 977,202) .
می دونیم که عدد یکی کمتر و یکی بیشتر از شماره مورد نظرمون فرد هستند که روی هم رفته حاصل ده فاکتور اول متفاوت از هم هستند پس برای پیدا کردن حد پایین عدد مورد نظر رکس ده عدد اول فرد نخستین رو در هم ضرب می کنیم(3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 = 100,280,245,065) و با ریشه دو رادیکال می گیریم (100,280,245,065 ~ 316,670رادیکال).
شماره مورد نظر عددی زوج در محدوده 316670 الی 977202 خواهد بود.
جمع دیجیتال فاکتورهای اول عدد مورد نظر اول هست که البته یکی از اون فاکتور ها دو خواهد بود. دو فاکتور دیگه بایست بین 1398 و 277 (316,670 / 1,398 ~ 227) باشند.
جمع دیجیتال ماکزیمم برای اعداد که در این محدوده هستند 27 (3 x 9 = 27) می باشد، پس مقدار ماکزیمم ممکن برای حاصلضرب جمع دیجیتال سه عدد اول برابر با 1058 (2 x 23 x 23 = 1,058)(23 اولین عدد اول قبل از 27 هست) خواهد بود. توجه داشته باشید که جمع دیجیتال جمع دیجیتال، و جمع دیجیتال جمع دیجیتال جمع دیجیتال هم بایست اول باشند.
بزرگترین جمع دیجیتال ممکن برای عددی در محدوده بین 316670 الی 977202 ،54 (x 9 = 54) هست. این بدین معناست که عدد مورد نظر باید عدد اولی کوچکتر از 54 باشد که با عدد اول کوچکتر از 27، زمانی که برعکس می شود، متفاوت باشد.
4 عدد اولی که می توانند کمتر از 54 باشند و و وقتی که برعکس می شوند یک عدد اول متفاوت شوند اینها هستند: 13؛ 17؛ 31؛ 37 .
جمع دیجیتال شماره مورد نظر رکس می بایست 31 باشه.
دو رقم میانی عدد مورد نظر اول هستند، برای اینکه داشتن دو رقم در وسط ممکن بشه، تعداد ارقام در شماره مورد نظر باید زوج باشه. می دونیم که عددی که با اون دو رقم میانی تشکیل می شه هم اوله و تنها چهار عدد دو رقمی وجود دارند که از هر رقم تشکیل دهنده خودش اوله: 23؛37؛53؛73 . چون عددی که با سه رقم اول شماره مورد نظر تشکیل می شه و نیز جمع دیجیتال اون هم اوله.
عددی که با سه رقم اول شماره مورد نظر تشکیل می شه نیز اوله پس رقم سوم نمی تونن 2 یا 5 باشن که در این صورت فقط 37 و 73 بعنوان گزینه های ممکن دو رقم میانی باقی می مونند.
از اونجاییکه جمع دیجیتال سه رقم ابتدایی شماره مورد نظر اول هست، پس مجموع بایست یکی از اعداد 5، 7، 11، 13، 17، 19 و یا 23 باشه. با توجه به اینکه شماره باید با یکی از ارقام 4، 6، 8 یا 9 شروع بشه، مقدار مینیمم برای سه رقم اول 403 خواهد بود، که رقم 5 رو بعنوان مقدار مجموع محتمل حذف می کنه. جمع دیجیتال جمع دیجیتال سه رقم اول می بایست اول باشه پس 13، 17 و 19 هم حذف می شوند. تا بحال 11، 7 و 23 سه گزینه باقیمانده در جواب جمع سه رقم اول هستند.
گزینه معادل 7 هم بخاطر اینکه فقط یک جواب ممکن داره، 403، و 403 = 13 x 31 پرایم نخواهد بود؛ حذف می شه.
پس جمع دیجیتال سه رقم ابتدایی یا 11 است یا 23 و جمع دیجیتال سه رقم آخر یا 20 یا 8 .
فقط 4 عدد داریم که با 4،6،8 یا 9شروع بشن و جمع دیجیتالی برابر با 11 داشته باشند: 407, 443, 623 و 803.
407 = 11 x 37, 623 = 7 x 89 و 803 = 11 x 73 اما 443 اول هست. اگر 443 سه رقم اول باشه پس سه رقم بعدی باید با 7 شروع شود و به 4، 6 یا 8 ختم شود و کلی برابر با 20 داشته باشد که سه عدد 758، 776 و 794 را به دست می دهد.
رقم پنجم نمی تواند اول باشد پس تنها گزینه ممکن 794 است. شماره کاملی که از اینجا بدست می اید 443794 است.
اگر مجموع سه رقم اول 23 باشد و با 4،6، 8 یا 9 شروع شود و به 3 یا 7 ختم شود انگاه گزینه های ممکن 977و 887 خواهند بود. رقم دوم 977 اول است پس حذف می شود. 887 اول است. اگر سه رقم اول 887 باشد پس سه رقم دوم با سه شروع می شود، به 4،6 یا 8 ختم می شود با مجموعی برابر با 8 که تنها 314 را ممکن می سازد.
شماره کاملی که از اینجا بدست میآید 887314 است.
رکس به رالف گفت که یکی از شماره ها به 13 تقسیم شدنی است و 443,794 = 13 x 34,138 و چون 13 نمی تواند در فاکتور های اول شماره باشد و پس شماره مورد نظر 887314 خواهد بود.

(عملگرها کمی جابجا دیده میشن، برای راحتی بیشتر می تونید متن رو به word کپی و در اون محیط مشاهده کنید)